Азербайджанский и турецкий близки, но не в такой степени, чтобы считать их диалектами одного и того же языка.
Азербайджанский язык богаче в фонетическом и лексическом плане, он более "мобильный" и сложился раньше турецкого.
Туркменский по большинству факторов ближе к турецкому, чем азербайджанский
Разговорная турецкая почти не отличается от азербайджанского. Но литературная отличается. На восточном Анатолии люди разговаривают на языке почти не отличавший от Азербайджанского. Насчет Туркменского сомневаюсь ...не очень. Еще близкие к турецкому языку являются Гагаузские и крымско-татарские языки.
У меня есть знакомый турок. Он говорит, что достаточно легко понимает азербайджанский, узбекский, татарский языки. Я ему как-то прочитал казахский текст (он кириллицу не знает, сам не смог прочитать) - он сказал, что понял почти всё.
Как украинский и русский, примерно так