Можно ли применять правило пропорции в неравенствах?

Нет, нельзя. Надо собрать выражения в левой части неравенства и привести к общему знаменателю:
1/(12ˣ+143)-1/12ˣ⁺²≥0
и далее решать:
числитель: 12ˣ⁺²-12ˣ-143
знаменатель: (12ˣ+143)•12ˣ⁺²
знаменатель всегда положителен, значит:
12ˣ⁺²-12ˣ-143≥0
12ˣ(12²-1)-143≥0
12ˣ•143-143≥0
143(12ˣ-1)≥0
12ˣ-1≥0
12ˣ≥1
12ˣ≥12⁰
x≥0