Чем отличается предложение He is writing a new play от He write a new play?

Первое правильно, второе - нет.

He is writing a new play - он (сейчас) пишет новую пьесу,
он в ПРОЦЕССЕ написания

He writeS a new play - он (вообще) пишет новую пьесу.
(может быть, сейчас он спит или ходит по магазинам)