в треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К, на стороне Вс точка М, КМ не параллельна АС. треугольники КМВ и АВС

Так как треугольники подобны и КМ не параллельна АС, то угол ВМК равен углу ВАС (а не ВСА, иначе была бы параллельность) . Угол ВКМ равен углу ВСА.
Значит, угол КМС = 180-уголВМК = 180-уголВАС, следовательно, угол КМС + угол КАС=180-уголВАС+угол КАС = 180.
Аналогично, АКМ=180-ВКМ=180-ВСА,
МКА+МСА=180. Так как суммы противоположных углов в четырехугольнике равны, то вокруг него можно описать окружность.