Могу ли я получить второе высшее на специалитете, а не на бакалавриате? Если да, то какие условия?

Конечно можете. В случае, если первое высшее было получено на бюджетной основе, то второе будет платным, и наоборот, если учились на платной основе, то можете пытаться 2-е высшее получить бесплатно.