Можно ли прописать прямого наследника в квартиру, пока он не вступил в законное наследство?

только после вступления в наследство

Нет, пока он там никто. Да и прописывать некому, т. к. собственник скончался.

Теперь то что спешить?

1. Прописки не существует с 1993 года. Теперь есть регистрация по месту жительства и по месту пребывания.
2. Регистрируются граждане самостоятельно после законного вселения, подавая документы для регистрации в УФМС.
3. В данном случае вселение не может быть законным и оснований для регистрации в нём у наследника нет.

После оформления документов.

Квартира была приватизирована отцом? Сын пусть съездит к нотариусу и подаст заявление о принятии наследства. Ему выдадут св-во, с которым можно будет оформить регистрацию в отцовствкой квартире.

Сын сможет прописаться в квартиру только после того, как у нотариуса получит Свидетельство о праве на наследство (а это не раньше чем через полгода после смерти отца), зарегистрирует его в Росреестре (регпалате) и получит там Свидетельство о праве собственности. Вот эти документы и будут законными основаниями для его вселения и прописки.
До этого-никак