с мотоциклетной категорией А можно будет ездить на квадрике после введения новых категорий прав

Ты пиши ясней. Ты чтото вот так пишешь. Пример.
Кто может А кстати это фильм?

Нельзя, на квадроцикл нужна категория В1

До 125 куб. точно можно.. .
свыше только В1

Да после введения поправок
с категорией А можно ездить на квадроцикле ( который будет относиться к подкатегории В1) с мотоциклетным рулем и седением.
но это если с квадриком идет ПТС с категорией В1 скорее всего новые так и будут выпускать.
но если с квадриком идет ПСМ (паспорт самоходной машины) то нужны попрежнему тракторные права категории А1