Какие документы проверяют на границе РФ при выезде иностранного гражданина если у него есть РВП?

Вы же сами себе и ответили, что после получения РВП- ОБЯЗАНЫ (!!) зарегистрироваться по месту жительства на срок действия РВП в течение 7 дней.
Если вы нарушите данный срок, то будете привлечены к административной ответственности по ст. 18.8 ч. 1 КоАП РФ - наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до пяти тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации или без такового, а если вы находитесь в Москве или Спб, то по части 3 данной статьи- наложение административного штрафа в размере от пяти тысяч до семи тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации.