могут ли лишить мать одиночку родительских прав без её присутствия ведь через суд это все делается как я понимаю?

вы чё - мало на свете живёте?
у нас заочно можно и к расстрелу приговорить...

При наличии существенных доказателств могут. Но нужные ВЕСКИЕ и НЕОСПОРИМЫЕ документы-на каждое действие и бездействие матери.

повестку присылают по почте
а не лично в руки

да, можно. Скорее всего, она не проживала по месту регистрации, и уведомление не получила. А розыском суды не занимаются

существует понятие "надлежащее уведомление"
женщине по месту регистрации или последнего известного места жительства послали повестку письмом с уведомлением. Если женщина не забрала повестку на почте по пришедшему уведомлению, все равно считается, что ее уведомили.

По тому после пары отложенных заседаний заседание проводится без ее участия с назначенным для нее государственным адвокатом.

и такое решение вполне законно.

Заочным решением могут но оно легко оспаривается.

Только если не могут ее найти.

Да запросто!)))