я живу на 2 этаже. соседи снизу решили продолжить балкон. администрация выдала разрешение на пристройку. правомерны ли и

Какая администрация выдала разрешение? Если это оформлено через архитектурно-градостроительное учреждение и БТИ при исполкоме муниципального образования (города) , то всё в порядке и Вашего согласия не требуется

Такое понятие, как "разрешение", в данном случае не не существует. Вы не являетесь собственником здания, поэтому, в данном случае, не можете что-либо разрешать либо запрещать.
На всякий случай, поинтересуйтесь, есть ли у соседа снизу разработанный и утверждённый в установленном порядке проект реконструкции. Если нет - его действия нарушают законодательство. При попытке начала строительства обращайтесь в районную администрацию, КГА, ГАСН.
Если есть - значит, он расширит себе балкон, это его дело и его деньги. Правда, Вы можете обратиться в суд, и попробовать доказать, что пристройка ухудшает условия проживания в Вашей квартире. Тут уж, как суд решит.