Имеет ли право велосипед-тандем двигаться по дорогам общего пользования?

Вполне. По всем характеристикам, это по-прежнему велосипед, который обладает всё теми же правами, закреплёнными в ПДД.
Цитата:
"Велосипед" - транспортное средство, кроме инвалидных колясок, которое имеет по крайней мере два колеса и приводится в движение как правило мускульной энергией лиц, находящихся на этом транспортном средстве, в частности при помощи педалей или рукояток, и может также иметь электродвигатель номинальной максимальной мощностью в режиме длительной нагрузки, не превышающей 0,25 кВт, автоматически отключающийся на скорости более 25 км/ч.