Задача с вращающимся диском

Question

Диск радиусом R вращается по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью ω в своей плоскости, совпадающей с координатной плоскостью хОу. В начальный момент времени ось диска находится на высоте Н от земли. Диск бросили горизонтально, в направлении оси х (т. е. вправо) со скоростью u. Может ли некоторая точка на ободе диска оказаться неподвижной относительно земли в момент касания диска земли? Если да, то при каком условии? Как можно определить положение этой точки в случае, если она существует?

Точки на краю диска участвуют в трёх независимых друг от друга движениях: 1) с окружной скоростью wR (в общем случае направлена наклонно); 2) со скоростью "бросания" u (направлена горизонтально вправо) и 3) со скоростью падения (направлена вертикально вниз), которая в момент касания края диска земли приобретает значение sqrt[2g(H-R)]. Из условия неподвижности точки относительно земли вытекает, что векторное сложение этих скоростей даёт замкнутый многоугольник - прямоугольный треугольник, гипотенуза которого 1-я скорость, а катеты 2-я и 3я скорости. Т. о. условие неподвижности: (wR)^2= u^2+2g(H-R). Положение точки определяется ф-лой. a= arccos[u/(wR)]. Угол а измеряется от -у по часовой стрелке (на что указали Низяев и Чайковский).

Александр Комиссаров · Accepted Answer

Очень интересная задачка. Решать за тебя, разумеется, я не буду - это тебе только повредило бы. Просто подскажу направление мысли.
Если диск бросили горизонтально, и скорость его ниже 1-й космической (это подразумевается по умолчанию, как я понимаю - иначе диск просто не упал бы на землю), то горизонтальная составляющая скорости будет оставаться неизменной, а вертикальная - будет ускоряться вниз под влиянием силы тяжести. Следовательно, траектория диска (его центра, понятно) сразу же перестанет быть горизонтальной и пойдет вниз по параболе (если землю условно считать плоской) или по эллипсу (если землю принимать шарообразной). Так или иначе, к моменту приземления траектория диска будет НАКЛОННОЙ - и чем дольше диск провел в полете, тем сильнее будет наклон. Вычислить его угол - уже пройденная тема, в прошлом году.

Дальше, чтобы некоторая точка диска оказалась неподвижна относительно земли, эта точка должна двигаться по отношению к центру диска "назад" и "вверх" - под тем же углом, под которым диск падает на землю. То есть, это любая точка, расположенная на радиусе диска, перпендикулярном его скорости в этот момент. Поскольку диск вращается по часовой стрелке и летит слева направо, то искомый радиус должен быть обращен от центра диска влево-вниз. Угол наклона уже известен, повторяю.

Остается выбрать на этом радиусе ОДНУ-единственную точку, поскольку все точки на нем имеют разные линейные скорости относительно центра диска. Угловая скорость вращения задана по условию. Скорость полета самого диска тоже известна еще с прошлого года учебы. Значит, нужно взять формулу преобразования линейной скорости в угловую (или обратно), и подставить туда скорость полета диска и скорость его вращения. Формула отдаст тебе на выходе "радиус". И если этот радиус окажется меньше физического радиуса диска, то точка существует и уже найдена. Если радиус оказался равен радиусу самого диска, значит, искомая точка находится точно на его краю. А если искомый радиус оказался больше физического - значит, искомая точка находится за пределами диска. Иначе говоря, он либо слишком медленно вращается, либо слишком быстро летит.

Вот и все! А выражение уже в виде формулы - остается за тобой :-)

Андрей Акимов · Answer

Из условия вытекает, что ось диска параллельна плоскости земли или плоскость диска перпендикулярна земле. Момент касания земли
 t=sqrt(2*g*(H-R)). 
 Скорость ц. м. во время касания
v=sqrt(vx^2+vу^2)=sqrt(u^2+4(H-R)^2/t^2)
Если угловая скорость диска удовлетворяет условию
ω=v/R, то точка. двигающаяся противоположно скорости ц. м. и, следовательно, неподвижна относительно поверхности, в момент касания земли находится под углом arcctg(u/v) от направления -у по часовой стрелке.
П. С. Слегка подправил))

Анастасия Лебедева · Answer

Надеюсь, что мы считаем диск все время находящимся в плоскости XY)
Можно в параметрическом виде задать все точки диска:
x = u t + r cos(f + w t)
y = r sin(f + w t)
z = H - (g / 2) t^2
0 < r < R
0 < f < 2 п
Рассматриваем w > 0.
Нас интересует момент касания Земли, то есть z = 0:
H - (g / 2) t^2 = 0
t = sqrt(2 g H)
Берем производную по времени, получаем скорости всех точек:
Vx = u - w r sin(f + w t)
Vy = w r cos(f + w t)
Vz = - g t
Проекция скорости на ось Z не может быть равна нулю в рассматриваемый момент при такой постановке задачи. Наверное, имеется ввиду проекция скорости на плоскость XY. Далее так и буду считать.
Посмотрим на Y-проекцию. Ее можно было бы занулить, положив r = 0 (то есть рассмотрев центр диска), но тогда мы не сможем занулить X-проекцию. Значит r на равно 0. w не равно нулю по условию, а тогда:
cos(f + w t) = 0
f + w t = п/2 + п k
f = п (k + 0.5) - w t
Теперь потребуем, чтобы при выполнении этого условие занулилась и X-прекция:
Vx = u - w r sin(п [k + 0.5]) = u - w r cos(п k) = u - w r (-1)^k = 0
u>0, w>0, r>0
Значит k должно быть четным:
k = 2 n
Выражаем r:
r = u / w < R
Получается, что такая точка существует при:
0 < u/w < R
Сама точка имеет параметры:
r = u/w
f = п (2 n + 0.5) - w t = 2 п n + 0.5 п - w sqrt(2 g H)
В начальный момент времени координаты этой точки:
x = (u/w) cos(0.5 п - w sqrt[2 g H]) = (u/w) sin(w sqrt[2 g H])
y = (u/w) sin(0.5 п - w sqrt[2 g H]) = (u/w) cos(w sqrt[2 g H])

Оля · Answer

может.

Светлана Чеботарева · Answer

В обычном колесе нижняя точка всегда неподвижна относительно земли, если колесо не буксует. Вот если диск бросить таким образом, чтобы в момент касания он "стал колесом" (т. е. чтобы линейная скорость вращения совпала с горизонтальной), случится такой вот казус резуса. Ну и тривиальный случай - нулевая угловая скорость, вертикальное падение, в этом случае все точки будут неподвижны.

Антон Савоськин · Answer

Проверить -на практике.