Как понимать формулировки математического анализа?

Question

Объясните пожалуйста как следует понимать подобное: 
 
"Эта последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого числа E > 0 существует номер N такой, что при всех n > N и любых натуральных m выполняется неравенство (т. е. расстояние между членами последовательности с номерами n и n+m меньше E;) – критерий Коши сходимости последовательности. " 
 
ну алгоритм того, что в мозгу должно происходить, как это можно представить. о каких E тут говорится, что за номер N итд.

Тина · Accepted Answer

Так и понимать, как написано - E - любое число большее нуля (вообще-то обычно ε берут, но пусть будет Е, если вам она больше нравится) ; N - любое натуральное число. Можно перевести это на более бытовой язык. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда какое бы маленькое число мы не взяли, начиная с какого-то номера разница между двумя любыми членами последовательности с номерами большими этого номера будет меньше этого числа.

Светлана Чеботарева · Answer

вообще-то как написано - так и понимать. Чего тут сложного-то? Русским языком все описано. 
У бухгалтеров при начислении налогов куда сложнее условия переплетаются. 
 
тут написано, что какое маленькое Е не бери, а начиная с какого-то номера для всех членов будет выполняться условие.

Фаррух Юлдашев · Answer

Это означает, что если забраться очень далеко 
по номеру членов последовательности, то дальше 
разница между всякими двумя членами уже станет 
маленькой-премаленькой. 
"На пальцах": чем дальше, тем колебания всё мельче, 
поэтому в конце концов всё "устаканится".