Подскажите, обязательно ли получать временную регистрацию в Москве жителю Курска?

В Москве не нужно, потому что закон не предусматривает регистрации в городе.
Закон обязывает граждан регистрироваться по месту пребывания в КОНКРЕТНОМ ЖИЛОМ ПОМЕЩЕНИИ при проживании в нём более 90 дней независимо от места нахождения этого жилого помещения.