какие проблемы, поднятые гоголем в петербургских повестях, не утратили своей актуальности, почему?

Да, практически все, и отчужденность, одиночество человека в мегаполисе, и издевательство над бедным, и кичливость нищих духом, и ...да все язвы большого города.
А причина актуальности - гениальность писателя и человеческая психология, точнее животная состовляющая человеческого ества.