1. Прямая m имеет с пересекающими прямыми a и b две общие точки. Докажите, что эти три прямые лежат в одной плоскости.
2. а) Можно ли провести через точку пересечения медиан треугольника прямую, которая не имеет общих точек с его сторонами? б) Ответ поясните.
1 Через две пересекающиеся прямые (а и в) строим плоскость. Таким образом эти прямые и все точки этих прямых лежат в плоскости, включая и те две точки в которых прямая м пересекается с ними. По теореме "если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в плоскости" получим, что прямая м лежит в одной плоскости с прямыми а и в, что и требовалось доказать.
2 Можно, но эта прямая не будет принадлежать плоскости треугольника.
Ответ: 1) Пересекающиеся прямые ВСЕГДА лежат в одной плоскости и любые их точки тоже. Если прямая m проходит через точки a и b (которые в этой плоскости) , то она целиком лежит в этой плоскости, как и названные выше пересекающиеся прямые. 2) На плоскости нельзя провести такую прямую, т. к. точка пересечения медиан есть внутренняя точка замкнутой ограниченной области (компакта) и бесконечная прямая через эту точку обязательно пересечет границу области. В 3-мерном пространстве это легко сделать, например, восстановить перпендикуляр из точки пересечения медиан к плоскости треугольника
⇢