всегда ли должно висеть предупреждение, что администрация не несет оставленные без присмотра вещи

Нет, конечно.
Такое объявление – не обязанность, а добрая воля администрации.
Однако, когда Вы сдаете вещи, ценности и т. д. : в гардероб учреждения, в комнату хранения вещей (в больнице, санатории, театре и пр. и пр. ) то – это совсем иное дело…
В этом случае Вы заключаете с представителем администрации договор хранения, вследствие нарушения которого ( хищение, пропажа вещей и пр. ) администрация несет ответственность.