Верно ли что сумма медиан треугольника больше его полупериметра но меньше периметра

Это верно.
Предварительно вспомним, что:

а) во всяком треугольнике каждая сторона короче суммы
двух других сторон.

б) во всяком треугольнике каждая сторона длиннее разности
двух других сторон.

1) Теперь дополним треугольник до параллелограмма.
Легко доказать, пользуясь (а) , что каждая диагональ короче
суммы двух сторон угла, из которого она выходит.
Значит, половина диагонали меньше полусуммы таких сторон,
а это то же самое, что "медиана короче полусуммы соседних
с ней сторон". Итак,

m1+m2+m3 <= (a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2 =a+b+c=P.

2) медиана m1 делит треугольник на два треуг-ка, по (б) ,

m1 >= a-b/2, m2 >= b-c2, m3 >= c-a/2.

Сложим эти три неравенства, получим: m1+m2+m3 >= (a+b+c)/2=P/2.