если в роддоме хотят продлить больничный, копию больничного нужно брать на работе?

не нужно, в роддоме выдают новый больничный лист.

В роддоме вам выпишут новый больничный - дополнительный к первому.

Обязательно нужно. В роддоме вам должны выписать не отдельный больничный, а продолжение к основному. В нём должны написать доп. отпуск по БиР (код 05 020) и в строке "продолжение листка нетрудоспосбности №" указать номер основного больничного листа. А в основном больничном, который в ЖК вам выдали надо тоже отметку ставить: "Выдан листок нетрудоспосбности (продолжение) №...."