Как решить предел без применения правила Лопиталя?

Question

Подскажите, как решить предел без применения правила Лопиталя: 
lim(ln(cos(x)))/ (ln(cos(3*x))) 
(при х, стремящемся к 0) 
(ответ 1/9, но интересно именно само решение)

Дима Соловьёв · Accepted Answer

такие приделы решаются заменой на эквивалентные выражения 
lim(ln(cos(x)))/ (ln(cos(3*x))) =lim(ln(1+(cos(x)-1)))/ (ln(1+(cos(3*x)-1)))= 
lim((cos(x)-1)/(cos(3x)-1))=lim((-x^2/2)/(-(3x)^2/2))=1/9 
Здесь используем, что при x стремящемся к нулю ln(1+x)~x и 1-cos(x)~x^2/2