Можно ли с иногородней пропиской получить место в детсаду по месту жительства? Если да, на основании каких документов?

Не по месту жительства (это как раз по прописке) , а по месту пребывания. На основании временной регистрации и заранее встать в очередь. Места для местных распределяются в первую очередь. Это официально. А так - подойдите, поговорите с заведующими всех садиков поблизости, может вам что-то предложат. Предлагайте свою помощь - например, если папа работает на стройке и может бесплатно песок в песочнице привезти, стройматериалы и т. п. Или вы отлично шьете, рисуете, ..