Кто должен оплатить НДФЛ?

налог должна уплатить работница, но теперь уже через налоговую службу

Я что то не поняла, а в ведомости она за какую зарплту расписывалась, если за 6 тыс руб, то ни кто и не узнает что она получила 10 тыс. и не надо платить разницу НДФЛ, а если она в ведомости расписывалась за 10 тыс. , то вы можете подать справку в налоговую, о том что неудержан НДФЛ с акой то суммы, а так как работник уволился у вас нет возможности удержать с него самим, и значит это уже будет дело налогового органа. Сами вы уплатить за работника НДФЛ за счет предприятия не имеете права.

Вопрос некорректный и частично на это уже обращали внимание. Но судя по контексту вопроса получила бухгалтерша (далее "тетка" ) все-таки официально, т. е по ведомости.
1)Ваша организация, как налоговый агент, была обязана удержать начисленную сумму налога непосредственно из доходов налогоплательщика при их фактической выплате. (п. 4 ст. 226 НК РФ )
Таким образом, если "тетка" получила по ведомости 10 тыс. на руки, то это означает, что вы ей должны были начислить больше с таким расчетом, что "удержав" с нее сумму налога в 13%, вы ей на руки "дали" 10 тыс. руб. (подсчитайте все суммы сами, так как непонятно сколько же она получила "на руки"). Эту якобы "удержанную" с тетки сумму НДФЛ Ваша организация и должна будет перечислить в бюджет.
Житейский совет: Наши "правохранители" ничего с этой теткой не сделают, а она скорее всего сама кого хочешь в грязи вываляет + какая-то информация у нее как у бухгалтерши есть против вас.
Так что Ваш директор скорее всего прав, приняв решение не подымать шум, и не идти в суд, УВД и др. Аони будет много, а результата "нэма-э"
На всякий случай говорю: Если Вы передумаете и пойдете в суд, УВД и др, то в течение одного месяца с момента возникновения соответствующих обстоятельств (неудержания налога) письменно сообщите в налоговый орган по месту своего учета о невозможности удержать налог и сумме задолженности налогоплательщика (См. п. 5 ст. 226 НК РФ) .
За непредставление в установленный срок налоговым агентом в налоговые органы вышеуказанных сведений налоговый агент подлежит привлечению к ответственности, установленной статьей 126 НК РФ (50 руб. за каждый документ).