Первичным документом на утверждение авансового отчёта Д10 К71 может являться Акт на закупку МЦ у частного лица?

Да, может, но с оговорками:
Любая сделка между юридическим лицом и гражданином обязательно заключается в письменной форме. Исключение - сделки, требующие нотариального удостоверения. Об этом говорится в п. 1 ст. 161 ГК РФ. Договор купли-продажи с физическим лицом должен содержать наименование, количество, ассортимент и стоимость товара, а также права, обязанности и ответственность сторон, срок передачи товара, порядок оплаты и другие условия, предусмотренные гл. 30 ГК РФ.
Факт передачи имущества подтверждается составлением закупочного акта. Для организаций общественного питания используется акт по унифицированной форме № ОП-5. Остальные организации самостоятельно разрабатывают форму закупочного акта. При этом необходимо, чтобы в документе были указаны следующие обязательные реквизиты (п. 2 ст. 9 Федерального закона от 21.11.96 № 129-ФЗ) : наименование; дата составления; наименование организации, от имени которой составлен документ; содержание хозяйственной операции; измерители хозяйственной операции в натуральном и денежном выражении; наименование должностей лиц, ответственных за совершение хозяйственной операции и правильность ее оформления; личные подписи указанных лиц.
При разработке указанного документа за основу может быть взята унифицированная форма № ОП-5.
Закупочный акт составляется в двух экземплярах, один из которых остается у физического лица-продавца, а второй - у организации-покупателя.
Операции по закупке товарно-материальных ценностей у населения отражаются в бухгалтерском учете организации в общем порядке.
Если в договоре установлено, что покупка оплачивается наличными деньгами, возможны два варианта расчетов: либо продавец получает деньги в кассе организации, либо представитель организации-покупателя рассчитывается с ним сразу в момент покупки (путем выдачи в под отчет) .
Выплата денег физическому лицу из кассы организации осуществляется по расходному кассовому ордеру. В этом случае продавец в закупочном акте не расписывается в получении денег.
Выплата в момент покупки имущества - Покупка оформляется закупочным актом, в котором подпись физического лица является подтверждением получения денег от представителя предприятия.

Договор и товарная накладная. Этого хватит.