Удаленная регистрация ИП.

1. Регистрация ИП - только по месту прописки. Если даже через сайт налоговой отправить документы, однократный визит в налоговую нужен - для получения вашей "живой" подписи, если у вас нет ЭЦП.
При отправке по почте с нотариально заверенной подписью в заявлении и нотариально заверенными копиями документов ехать не нужно, а вот готовое свидетельство и выписку должны прислать по почте, но на адрес прописки. Не уверена, но, возможно, к документам можно приложить заявление с просьбой выслать документы по указанному вами адресу.

2. Деятельность можно вести в любом регионе.
Если выберете ЕНВД и ваша деятельность входит в перечень по ЕНВД, то на учет по ЕНВД заявление подается в налоговую по месту деятельности, туда же сдавать будете декларации по ЕНВД.
Если хотите патентную систему налогообложения, то заявление на патент в налоговую по месту деятельности.

3. Если выберете УСН или ОСНО, то отчетность только в СВОЮ налоговую, поэтому ставку по УСН будете брать по прописке - кемеровскую.

Обязательные страховые взносы ИП платить в свой ПФР.

Сдавать отчетность можно, отправляя декларации по почте или подключиться к оператору электронной сдачи отчетности. Оплачивать налоги и взносы тоже можно удаленно - с расчетного счета ИП или через, например, Сбербанк, указывая реквизиты кемеровской налоговой или ПФР.

Когда будут наемные работники - спросите отдельно, куда за них платить и отчитываться, там есть нюансы.

регистрация ИП только по месту прописки
http://ipipip.ru/index2.php

Отчетность и налоги:
За самого себя предпринимателя нужно платить ПФР всегда в родном городе по прописке предпринимателя.
По налогам:
УСН и ОСНО только по месту регистрации ИП
ПСН в любом регионе можно получать

ЕНВД и Патент:

Платится вмененка и сдаются декларации также по фактическому месту ведения деятельности (кроме: оказания автотранспортных услуг по перевозке пассажиров и грузов; развозной и разносной розничной торговли; размещения рекламы на транспортных средствах. По этим видам деятельности встают на учёт по месту регистрации ИП). Также за сотрудников, которые заняты преимущественно в этом виде деятельности (который по ЕНВД или патенту) налоги и отчетность ПФР подается туда, где и вмененка или патент платятся. Как делать вычеты из налога если податеся несколько деклараций в законе не сказано, значит можно распределять сумму вычетов любыми долями.