Как в 1990-е начисляли заработную плату на первые банковские карты, когда еще не было интернет-банкинга?

В 1990-е годы зарплату на банковские карты вообще не начисляли. Деньги вручали только в конверте, и это было официально.

А я - обладатель банковской карты с 1997 года. Тогда ещё был БашКредитБанк. Впоследствии ставший УРАЛСИБом.

Так же, как и сейчас. Т.е. был расчетный счет, к которому была привязана карта, деньги точно так же, переводили на счет с помощью банковской программы, и так же, проводили, как и любые другие платежи.
Обладатель банковской карты с 1998 г.

Во-первых, у карт был картсчёт, на который можно было переводить по реквизитам. У сбербанковских, по крайней мере. Во-вторых, мало у кого эти карты были. У нас в каком-то универсаме даже без очереди по картам обслуживали. И до сих пор помню, с какой ненавистью вся очередь на меня смотрела, пока терминал дозванивался "в интернет" по городскому номеру и коннектился по диал-апу.

Безналичный перевод рублей Visa и MasterCard работает без интернет-банкинга
Система банковских переводов SWIFT появилась в 1973 году, задолго до интернета
А интернет-банкинг начал развиваться в 2000-х для удобства пользователей

в 90-ые деньги переводили на Сберкнижку или в кассе выдавали наличными.
бывало и целыми мешками деньги получали.

первые карты были у бизнесменов, и свою зарплату они брали напрямую из сейфа

В те времена все предприятия на бартер перешли, а зарплату платили у кого чем было. Колготками, сервизами...
Расчёты между предприятиями, соответственно, осуществляли грузовые дальнобойщики, которые из конца в конец страны везли не кому чего надо, а от того, у кого что-то имелось.
Тогда ещё не догадались драть налоги с бартера, так что система себя оправдывала.

Банкинг причем?
А так технически, как и сейчас. Банкомат давал запрос в банковскую систему и получал ответ, сколько можно выдать. Выдавал и давал системе знать сколько. Все.
Оплатить картой возможности нигде или почти не было.

У американцев спроси. В России в 90 годы была должность кассир и он выдавал деньги наличкой.

В 90х зарплату платили овощами или продуктами