Решаем олимпиадные задачи...

Луночки это не полукруги, а полукруги за вычетом сегментов
площадь окружности = площадь четырёхугольника + площадь сегментов
площадь полукругов = площадь луночек + площадь сегментов
площадь четырёхугольника = площадь луночек
отсюда площадь окружности = площадь полукругов
Тогда стороны четырёхугольника a,b,c,d должны удовлетворять условию
a²+b²+c²+d²=8R², где R — радиус окружности
Пусть центральные углы, соответствующие сторонам равны 2α, 2β, 2γ, 2δ
Тогда стороны a = 2R sin α, b=2R sin β, c=2R sin γ, d = 2R sin δ
sin²α+sin²β+sin²γ+sin²δ=2, α+β+γ+δ=180°
выражаем δ из второго равенства, подставляем в первое
sin²α+sin²β+sin²γ+sin²(α+β+γ)=2
sin²γ+sin²(α+β+γ)=cos²α+cos²β
cos²α-sin²γ=1/2 (1+cos2α-1+cos2γ)=(cos2α+cos2γ)/2=cos(α-γ)cos(α+γ)
cos²β-sin²(α+β+γ)=cos(β-α-β-γ)cos(β+α+β+γ)=cos(α+γ)cos(2β+α+γ)
cos²α-sin²γ+cos²β-sin²(α+β+γ)=cos(α+γ) · (cos(α-γ) + cos(2β+α+γ)) =
=2 cos(α+γ) cos(β+γ) cos(α+β) = 0
Значит, какие-то два из трёх углов α,β,γ в сумме дают 90°, следовательно, другие два из четырёх углов α,β,γ,δ тоже в сумме дают 90°
Поскольку порядок сторон нас не волнует, будем считать, что α+β=90°, γ+δ=90°
Итак, по условию существуют два угла α,γ и четыре различных целых числа a,b,c,d, таких, что a/sinα=b/cosα=c/sinγ=d/cosγ=2R
Иначе говоря, окружность радиуса 2R с центром в начале координат должна проходить, как минимум через четыре точки с двумя целочисленными координатами в первой четверти
(a,b), (b,a), (c,d), (d,c)
Площадь четырёхугольника можно найти как сумму площадей треугольников
R²/2 (sin(2α)+sin(2β)+sin(2γ)+sin(2δ)) = R² (sin(2α)+sin(2γ)) = 2R² (sinα cosα + sinγ cosγ)=
=1/2 (ab+cd)
Итак, четыре различных натуральных числа a,b,c,d должны удовлетворять условию a²+b²=c²+d²=4R², площадь четырёхугольника равна S=(ab+cd)/2
Минимальное возможное 2R=√65, для него a=8,b=1,c=7,d=4, S=18
Следующее 2R=√85, для него a=9,b=2,c=7,d=6, S=30
Следующее 2R=√125, для него a=11,b=2,c=10, d=5, S=36
Следующее 2R=√145, для него a=12, b=1, c=9, d=8, S=42
Для последующих 2R > 13 можно сказать, что ab ≥ 1·12=12, cd ≥ 2·12=24, ab+cd ≥ 36, S≥18
Значит, минимальная возможная площадь 18

читире!
XDD