0. Поскольку O — точка пересечения биссектрис, то, например, AO — биссектриса, и стороны AC и AB симметричны относительно AO. При такой симметрии правильный треугольник OAbAc должен переходить в себя, значит, AbAc⊥AO. Точки Ab и Ac могут быть построены как пересечения лучей с началом O, составляющих с OA углы 30°.
1. Поскольку AbAc⊥AO, получаем: ∠AAcAb=90°–½∠A;
∠OAcBc=180°–60°–(90°–½∠A)=½∠A+30°.
Аналогично показывается, что ∠OBcAc=½∠B+30°. При этом
∠AcOBc=180°–(½∠A+30°+½∠B+30°)=½∠C+30°.
Точно такие же вычисления для △AbOCb и △OBaCa приводят к таким же выражениям для углов. Значит, △AcBcO∾△AbOCb∾△OBaCa. Введём обозначения
α=½∠A+30°, β=½∠B+30°, γ=½∠C+30° (α+β+γ=180°).
2. Пусть A', A", B', B", C', C" — центры описанных окружностей треугольников (см. рис.) . Докажем, что треугольник A"B"C" — правильный.
2а. Найдём радиусы OC" и OA" описанных окружностей треугольников OAcBc и OBaCa. В треугольнике OAcBc высота, опущенная из O, равна r — радиусу вписанной окружности △ABC. Поэтому
AcBc=r ctg α+r ctg β=r (ctg α ctg β–1)/ctg(α+β)=
=r (cos α cos β–sin α sin β)/(ctg(α+β) sin α sin β)=
=r cos(α+β)/(ctg(α+β) sin α sin β)=r sin(α+β)/(sin α sin β)=
=r sin(180°–γ)/(sin α sin β)=r sin γ/(sin α sin β).
Аналогично, BaCa=r sin α/(sin β sin γ).
OC"=AcBc/(2 sin ∠AcOBc)=r/(2 sin α sin β),
OA"=BaCa/(2 sin ∠BaOCa)=r/(2 sin β sin γ).
Введём ещё одно обозначение: R=r/(2 sin α sin β sin γ). Тогда
OC"=R sin γ, OA"=R sin α.
2б. Найдём величину угла A"OC":
∠A"OC"=∠C"OBc+60°+∠BaOA"=
=∠C"BcO+60°+∠OBaA" {△BcOC" и △BaOA" равнобедренные}=
=∠C"BcO+∠C"BcAc+60° {△AcBcO ∾ △OBaCa}=
=β+60°.
2в. Из △A"OC" находим A"C"² по теореме косинусов:
A"C"²=R²[sin²α+sin²γ–2 sin α sin γ cos(β+60°)]=
=R²[sin²α+sin²γ–sin α sin γ cos β+√3 sin α sin β sin γ]=
=R²[sin²α+sin²γ+sin α sin γ cos (α+γ)+√3 sin α sin β sin γ]=
=R²[sin²α+sin²γ–sin²α sin²γ+sin α sin γ cos α cos γ+√3 sin α sin β sin γ]=
=R²[1–(1–sin²α)(1–sin²γ)+sin α sin γ cos α cos γ+√3 sin α sin β sin γ]=
=R²[1–cos²α cos²γ+sin α sin γ cos α cos γ+√3 sin α sin β sin γ]=
=R²[1–cos α cos γ (cos α cos γ–sin α sin γ)+√3 sin α sin β sin γ]=
=R²[1+cos α cos β cos γ+√3 sin α sin β sin γ].
Получилось симметричное выражение. Поэтому для A"B"², B"C"² выйдет ровно такое же. Следовательно, A"B"C" — правильный треугольник.
3. Опишем вокруг треугольника A"B"C" окружность. Углы A"B'C", B"C'A", C'A"B' равны по 120°, поскольку их сторонами являются серединные перпендикуляры к сторонам правильных треугольников. Следовательно, точки A', B', C' лежат на описанной окружности треугольника A"B"C".
