Дополнительное образование

Помогите решить задачу по математике!!!

На столе стоят 100 стаканов. Сначала перевернули каждый второй (2,4,6...) потом каждый третий, каждый четвертый.... Каждый сотый. Сколько стаканов останутся перевёрнутыми? какие номера стаканов вернутся в исходное положение
Помогите пожалуйста! Но нужен не только ответ, но и решение!
Ответ: Вернутся в исходное положение стаканы с номерами, которые являются квадратами чисел 2, 3, 4, ..10.
В исходном положении будут стаканы 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
Остальные будут перевернутыми.
Решение:
Рассмотрим стакан с номером n, n > 1, n <= 100.
Пусть n - простое число, то есть делится только на 1 и n.
Тогда данный стакан будет перевернут только один раз при переворачивании "Каждый n-ный стакан", то есть будет перевернут.
Пусть n не простое число и не является квадратом некоторого числа, то есть
n можно представить в виде произведения множителей в одном или нескольких вариантах: n = a1*b1 = a2*b2 = ...= ak*bk,
при этом первый множитель меньше второго, множители не совпадают, так как n не является квадратом.
Стакан будет перевернут четное число раз, то есть будет в исходном положении, при переворачивании "Каждый n-ный стакан" стакан будет перевернут и останется перевернутым.
Пусть n является квадратом некоторого числа, тогда кроме вариантов разложения на множители, описанных ранее (с не равными множителями) имеется вариант n = с*с. Тогда стакан будет перевернут нечетное число раз и окажется перевернутым, при переворачивании "Каждый n-ный стакан" стакан будет возврашен в исходное положение и останется таким.
Проверяем.
1) Пусть n - простое число, n = 11.
Стакан будет перевернут 1 раз при переворачивании "Каждый 11-ный стакан".
2) Пусть n = 96.
n = 2*48 = 3*32 = 4*24 = 6*16 = 8*12.
Стакан будет перевернут 10 раз и 11-ый раз при переворачивании "Каждый 96-ный стакан.
3) Пусть n = 64 (квадрат числа 8).
n = 2*32 = 4*16 = 8*8.
Стакан будет перевернут 5 раз и 6-ой раз при переворачивании "Каждый 64-ный стакан.
Alan Sidney Patrick Rickman
Alan Sidney Patrick Rickman
10 077
Лучший ответ
Василий Николаевич Смирнов Спасибо огромное, не могли бы вы объяснить, почему если можно представить n= a1*b1 = a2*b2 = ...= ak*bk,
при этом первый множитель меньше второго, множители не совпадают. То
Стакан будет перевернут четное число раз
как отблагодаришь?
Санёк Румянцев
Санёк Румянцев
44 829