где ошибка в расчётах( всегда меня привлекал этот пример)

Все очень просто. Сто раз уже объясняла, придется повторить, для особо тупых. Ошибка в первом же равенстве. Не умеете с ИМЕНОВАННЫМИ числами обращаться. Там под корнем не копейки (25 копеек, что написано) , а КОПЕЙКИ в КВАДРАТЕ (25 КОПЕЕК в КВАДРАТЕ) . А копейка в квадрате равна не 0,01 рубля, а 0,0001 рубля в КВАДРАТЕ. Также как 1 сантиметр равен 0,01 метра, а вот КВАДРАТНЫЙ сантиметр равен 0,0001 квадратного метра. Поменяйте копейки на сантиметры, а рубли на метры - и ошибка станет очевидной! В первом же "равенстве". Либо уж копейки под корень не вносите, пишите ВНЕ корня, тогда тоже НИКАКОГО парадокса не получится.
Поэтому должно быть либо так:
5 копеек=sqrt(25 копеек в квадрате) = sqrt(0,0025 рубля в квадрате) =0,05 рубля= 5 копеек.
либо так:
5 копеек=sqrt(25) копеек=sqrt(25)*0,01 рубля=0,05 рубля=5 копеек
Но тогда никакого "парадокса" нет. Это только для пеньковатых лохов "парадокс"....

результат извлечения корня из 25 и 1/4 различен ( разумеется это вы знали) .
Скорее всего если представить все еденицы в одной системе измерения то всё сойдётся.
Видимо нельзя представиь корень из 25 копеек как корень из 1/4 рубля. Нужно все еденицы представить в виде дроби.
в виде дроби или в рублях или в копейках. (собственно, представить в рублях-представить в виде дроби-одно и то же в этом случае)

в последней записи не совсем точно 1/2 рубля это половина а не 25 копеек, и не может быть равно корню из 1/4

Ошибка заключается в смешивании математики и денежных единиц) В результате - прибавляется нолик. Прикольная задачка, много таких можно найти, да и придумать тоже =)