Математика!Для качества ума.

ОТВЕТ: такое могло получиться, но только в том случае, если на всех гранях кубика исходно были записаны одинаковые числа.

РЕШЕНИЕ:
Предположим, что условие задачи выполнено, и посмотрим, к каким выводам это нас приведёт.

Для двух противоположных граней наборы из четырёх соседних граней совпадают, поэтому уже после первой такой операции на противоположных гранях будут записаны одинаковые числа. Разумеется, попарное равенство чисел на противоположных гранях будет соблюдаться и после произвольного количества таких операций.

Таким образом, обязательным условием выполнения условий задачи является исходное попарное равенство чисел на противоположных гранях кубика. Значит, имеем три пары чисел; обозначим эти числа a, b, c. Без ограничения общности можно считать, что a≤b≤c. Тогда после выполнения одной операции набор (a,b,c) переходит в ((b+c)/2, (c+a)/2, (a+b)/2).

Как несложно убедиться,
с ≥ (b+c)/2 ≥ (c+a)/2 ≥ (a+b)/2 ≥ a;
т. е. после одной операции порядок следования чисел меняется на противоположный (если сначала числа шли в порядке неубывания, то после операции они идут в порядке невозрастания; а если исходно числа были отортированы в невозрастающем порядке, то после операции они будут идти в порядке неубывания) . Таким образом, после любого нечётного количества операций (а 25 нечётно) исходный порядок сортировки чисел будет нарушен, и единственным случаем равенства исходного и конечного наборов является равенство всех чисел: a=b=c, что и доказывает наше исходное утверждение.

Однако наше утверждение справедливо при любом количестве операций, в т. ч. при чётном. Действительно, после каждой операции разность между максимальным и минимальным числами в наборе уменьшается вдвое: в начале эта разница равна (c−a), а в конце
(b+c)/2 − (a+b)/2 = (c−a)/2.

Соответственно, после n операций разность между максимальным и минимальными числами в наборе составит (c−a)/2^n. Выполнение условия
(c−a)/2^n = (c−a)
означает c=a, а поскольку a≤b≤c, то
a=b=c, что и требовалось доказать.

Предположим, что условие задачи выполнено, и посмотрим, к каким выводам это нас приведёт.

Для двух противоположных граней наборы из четырёх соседних граней совпадают, поэтому уже после первой такой операции на противоположных гранях будут записаны одинаковые числа. Разумеется, попарное равенство чисел на противоположных гранях будет соблюдаться и после произвольного количества таких операций.

Таким образом, обязательным условием выполнения условий задачи является исходное попарное равенство чисел на противоположных гранях кубика. Значит, имеем три пары чисел; обозначим эти числа a, b, c. Без ограничения общности можно считать, что a≤b≤c. Тогда после выполнения одной операции набор (a,b,c) переходит в ((b+c)/2, (c+a)/2, (a+b)/2).

Как несложно убедиться,
с ≥ (b+c)/2 ≥ (c+a)/2 ≥ (a+b)/2 ≥ a;
т. е. после одной операции порядок следования чисел меняется на противоположный (если сначала числа шли в порядке неубывания, то после операции они идут в порядке невозрастания; а если исходно числа были отортированы в невозрастающем порядке, то после операции они будут идти в порядке неубывания) . Таким образом, после любого нечётного количества операций (а 25 нечётно) исходный порядок сортировки чисел будет нарушен, и единственным случаем равенства исходного и конечного наборов является равенство всех чисел: a=b=c, что и доказывает наше исходное утверждение.

Однако наше утверждение справедливо при любом количестве операций, в т. ч. при чётном. Действительно, после каждой операции разность между максимальным и минимальным числами в наборе уменьшается вдвое: в начале эта разница равна (c−a), а в конце
(b+c)/2 − (a+b)/2 = (c−a)/2.

Соответственно, после n операций разность между максимальным и минимальными числами в наборе составит (c−a)/2^n. Выполнение условия
(c−a)/2^n = (c−a)
означает c=a, а поскольку a≤b≤c, то
a=b=c, что и требовалось доказать.