Решение олимпиады 2009

да
1.
ctg(пи/2-x)=ctg(x+2009), пи/2-x=x+2009-пи*n, 2x=пи (n+1/2)-2009,
x=пи/4 (2n+1) - 2009/2
2.
6 / ((3/2)^x + (2/3)^x) >= x^2 + 3
выражение в знаменателе левой части больше или равно 2 при любых действительных x
поэтому выражение в левой части меньше или равно 3 при любых действительных x
выражение в правой части больше или равно 3 при любых действительных x
неравенство может быть выполнено, когда с обеих сторон 3
x^2+3 = 3, x = 0, подставляем в левую часть 6/(1 + 1) = 3 подходит
3. что-то с первым уравнением не так, в нём два знака равно, будем считать, что там должен быть + (он на одной кнопке с = висит)
ax^2+x+2a^2=0, ax^2+2x-2a^2=0
для того, чтобы осуществилась описанная в условии ситуация, нужно, чтобы параболы пересеклись между собой с противоположной по отношению к направлению ветвей парабол стороны от оси Ox
ищем точку пересечения
ax^2+x+2a^2=ax^2+2x-2a^2
x=4a^2, y=ax^2+x+2a^2=16a^5+4a^2+2a^2=16a^5+6a^2
нужно, чтобы 16a^5+6a^2 и a имели разные знаки, то есть
(16a^5+6a^2)/a < 0, 16a^4+6a < 0, (8a^3+3)a < 0, a приналежит от -корнякуб (3)/2 до 0
4. Пусть CD -- высота. Тогда треугольники AHD и BHD равны по катету HD и гипотенузам, тогда треугольники ACD и BCD равны по катету CD и катетам AD=BD. Тогда AC=BC. Тогда СD биссектриса. Обозначим угол ACD=a, тогда CAH=90°-ACB=90°-2a. По теореме синусов в треугольнике ACH: 17/sin(90°-2a)=3/sin(a), откуда 3cos 2a-17 sina=0,
3 - 6 sin^2 a - 17 sina = 0, sina=x
6x^2 + 17x - 3 = 0, x = -3 или x = 1/6
sina = 1/6 (-3 не может быть синусом, а тем более острого угла)
AHC=180°-ACH-CAH=90°+a
sin(AHC)=sin(90°+a)=cos(a)=корень (35)/6
по теореме синусов для AHC
3/sin(a)=AC/sin(90°+a), AC=3 корень (35)
AD=AC sin(a) = 1/2 корень (35)
AB= 2AD = корень (35)
ответ AB=корень (35), AC=BC=3 корень (35), всё в см