Имеет право Мировой судья рассмотреть заявление (Налоговой службы о взыскании недоимки по налогу без участия ответчика?

Имеет.
Налоговый орган имеет право обратится в суд с заявлением о выдаче судебного приказа о взыскании недоимки по налогам (это основание содержится в перечне, установленном ст. 1252 ГПК) . В этом случае судья рассматривает требование без присутствия должника (правда, его должны известить) только на основании документов, предоставленных кредитором. Налоговый орган в качестве доказательств наличия долга, как правило, предоставляет уведомление с расчетом суммы налога, требование об уплате налога с приложением доказательств его направления (это могут быть почтовые реестры заказных писем с отметкой почты) , выписки из лицевых счетов налогоплательщика.
Судебный приказ, кстати, можно оспорить (в двадцатидневный срок с момента его вынесения) . Достаточно только заявления о возражении - и приказ отменяется без рассмотрения дела. Далее - очень желательно добраться-таки до налоговой инспекции и решить вопрос с наличием долга (по крайней мере, написать письменную жалобу - ее должны рассмотреть и обязаны ответить в течение месяца).

а вот заочное решение вполне может быть, так что лучше всего поинтересоваться, а чем же дело-то закончилось?

Имеет полное право. Это называется вынесение судебного приказа, а не заочное решение.
Вы в течении 10 дней с момента получения копии судебного приказа имеете право предоставить свои возражения (достаточно просто) и приказ будет отменен.

Затем, если налоговая подаст уже исковое заявление в суд, то Вас в качестве ответчика вызовут в судебное заседание. Вы имеете право предоставлять доказательства. Вот туда то и принесете доказательства оплаты налога в срок. Заниматься перепиской напрямую с инспекцией бесперспективно.

да, имеет. если это судебный приказ-то ничего вам и не должно приходить-никакого извещения. но он очень легко отменяется-приходите в суд и пишите заяву в свободной форме-не согласен с приказом, прошу отменить. никаких обоснований не нужно-только ваши возражения. а сами-бегом в налоговую-а то они исковое заявление в суд пришлют.. . удачи)