Лишили прав, суд был 22 апреля, собираюсь обжаловать постановление мирового суда, но постановление до сих пор не готово.

Продлить ВР можете по ход-ву у судьи у которого в настоящий момент находится дело.
В случае, если дело об административном правонарушении не рассмотрено в течение двух месяцев, срок действия временного разрешения на право управления транспортным средством соответствующего вида по ходатайству лица, в отношении которого ведется производство по делу об административном правонарушении, продлевается судьей, органом, должностным лицом, правомочными рассматривать дело об административном правонарушении, на срок не более одного месяца при каждом обращении. При подаче жалобы на постановление по делу об административном правонарушении срок действия временного разрешения на право управления транспортным средством соответствующего вида продлевается судьей, должностным лицом, правомочными рассматривать жалобу, до вынесения решения по жалобе на постановление по делу об административном правонарушении.
Как только получите копию постановления под подпись, то с того момента у Вас пойдет 10 суток на обжалование.

Жалоба на постановление по делу об административном правонарушении может быть подана в течение десяти суток со дня вручения или получения копии постановления.

Когда подадите жалобу в вышестоящий суд и судья примет жалобу в производство, то она уже будет Вам подливать ВР.

Не ждите, когда будет готово. Обжаловать можно только в течение 10 суток с момента вынесения решения

Ну это нормальная практика, а теперь у вас будет проблема с обжалованием, в связи с просрочкой. Набудующее как только слышите решение суда, не дожидаясь готового постановления сразу обжалуйте.
пока можете написать жалобу на то, что судья не выдает решение.

Обратитесь в суд с письменным заявлением о выдаче копии постановления и продлении времянки. Копию с отметкой оставить себе. При подписании о получении копии обязательно указать дату получения, с этого момента начнется срок обжалования.