В течение какого времени могут начислить штраф за несвоевременную уплату другого штрафа

1 год (ст. 4.5 КоАП РФ).

на оплату штрафа дается 70 суток (10-на обжалование и 60 на оплату)
в течении этого времени штраф не оплачивается - будет наказание предусмотренное ст 20.25 ч1 КоАП РФ. (в вашем случае это штраф в двойном размере от суммы штрафа)
все законно. наказание не отменяет штраф

Исполнительский сбор - это не штраф. Всё законно и справедливо.
Читайте статью 112 Федерального закона от 02.10.2007 N 229-ФЗ "Об исполнительном производстве".
1. Исполнительский сбор является денежным взысканием, налагаемым на должника в случае неисполнения им исполнительного документа в срок, установленный для добровольного исполнения исполнительного документа.
3. Исполнительский сбор устанавливается в размере семи процентов от подлежащей взысканию суммы или стоимости взыскиваемого имущества, но не менее одной тысячи рублей с должника-гражданина.
В постановлении о возбуждении исполнительного производства, которое судебный пристав-исполнитель должен был вам прислать, указывается срок для добровольного исполнения. Если в этот срок штраф не был уплачен добровольно, то пристав принимает меры для принудительного исполнения и взыскивает исполнительский сбор.

10 суток на обжалование, 2 месяца, а не 60 суток судья обычно принимает (февраль 28, а июль август по 31) . Это даётся на оплату штрафа. Потом двойной тариф.
В вашем случае всё законно. Двойной штраф.
Но вопрос почему к Вам привязались? Таких случаев в России миллионы и на это закрывают глаза.
Наверно насолили... если так принципиально