могут ли требовать с меня уплату штрафа(500 р) по прошествии года со времени правонарушения?

Могут, если вы УКЛОНЯЛИСЬ от уплаты штрафа

Если прошел год и десять дней, тогда нет! По истечению срока давности, если только год без дней, то в праве! Так как год отсчитывается с момента вступления в законную силу постановления!

Статья 31.9. КОАП РФ. Давность исполнения постановления о назначении административного наказания

1. Постановление о назначении административного наказания не подлежит исполнению в случае, если это постановление не было приведено в исполнение в течение года со дня его вступления в законную силу.

Да. В течение двух месяцев может быть вынесено постановление о штрафе. В течение десяти дней постановление может быть обжаловано. В течение не особо определённого срока, вышестоящим должностным лицом, вышестоящего органа, может быть вынесено решение по жалобе на постановление. Решение вышестоящего должностного лица может быть обжаловано в районный суд по месту вынесения решения. В течение не особо определённого срока может быть вынесено решение райсуда по жалобе на решение, вынесенное вышестоящим должностным лицом. Решение по жалобе на решение райсуда может быть обжаловано в вышестоящий суд. Решение вышестоящего суда вступает в законную силу. В одном из решений судов может быть запись о вступлении постановления в законную силу.
Таким образом, постановление может вступить в законную силу через полгода и больше (лично у меня до сих не вступило в законную силу постановление от 19.12.08).
В течение 30 дней со дня вступления постановления в законную силу оно должно быть исполнено. В случае неисполнения, может быть возбуждено дело по ст. 20.25 КоАП. Если это не произошло в течение года со дня вступления постановления в законную силу, то можно вздохнуть с облегчением.
На всё-про-всё может уйти до двух лет.

могут если не прошло года и 45 дней со дня вступления административного постановления в законную силу

Необходимо уточнить по какой статье КобАП вас привлекли, если за нарушение ПДД, то потребовать то могут, а вот имеют ли право? Общий срок взыскания действительно 1 год

вполне.