А должен ли я уведомлять СК о том что буду делать независимую экспертизу. И сообщься название или т.п ?

Сначала делайте экспертизу от СК. Да, за нее платит страховая. Но возможен вариант, что сначала Вам придется за нее заплатить. Не тушуйтесь - стоимость экспертизы вернут при выплате ущерба. Потом если размер выплаченного ущерба будет заведомо меньше, чем планируемая стоимость ремонта, проводите свою независимую экспертизу с ОБЯЗАТЕЛЬНЫМ уведомлением телеграммой СК о месте и времени проведения экспертизы. Придут-не придут их дело, но уведомить их Вы обязаны.
И еще немного из Правил ОСАГО:
"45. ..Страховщик проводит осмотр поврежденного имущества и (или) организует независимую экспертизу (оценку) путем выдачи направления на экспертизу (оценку) в срок не более 5 рабочих дней с даты получения от потерпевшего заявления о страховой выплате и документов, предусмотренных пунктом 44 настоящих Правил, если иной срок не согласован страховщиком с потерпевшим. "
"46. Если страховщик в установленный пунктом 45 настоящих Правил срок не провел осмотр поврежденного имущества и (или) не организовал независимую экспертизу (оценку) , то потерпевший имеет право самостоятельно обратиться с просьбой об организации такой экспертизы, не представляя поврежденное имущество страховщику для осмотра.
При решении вопроса о страховой выплате страховщик использует результаты этой независимой экспертизы. "

С подачи заявления в СК виновника ДТП у неё есть 5 дней на проведение оценки. Проводит такую оценку обычно "карманная" контора, которая иногда ошибочно называется "независимой". Подайте заявление и подождите эти 5 дней - пусть проведут оценку. После неё СК по вашему ПИСЬМЕННОМУ заявлению обязана в 3 дня сообщить сумму предстоящей выплаты. Заявление пишете в 2-х экземплярах, один сдаете в СК, на втором ТРЕБУЕТЕ подпись и дату - обязательно, оно вам пригодится. На практике - страховщики легко плюют на закон, каклькуляцию не выдают и сумму не сообщают.
В 99,99% случаев полученных денег нехватает и на половину ремонта. После оценки СК можете самостоятельно провести действительно НЕЗАВИСИМУЮ ЭКСПЕРТИЗУ - процедура платная, но деньги эти по суду вернутся. Об этом надо уведомить заинтересованные стороны - виновника и его страховую контору. Обычно высылается телеграмма за 3 дня - оценщик подскажет, как это сделать. Придут они или нет - наплевать. важно сохранить у себя копии этих извещений.
Сумма НЭ значительно возрастает, но за нее предстоит судиться со страховой конторой.

Вы имеете полное право скрыть сроки и место проведения независимой экспертизы - достаточно лишь ознакомить СК с её результатом, а если они будут им недовольны - пусть САМИ опротестовывают этот результат и жалуются прокурору, а он над ними вдоволь посмеётся.

обязаны уведомить

В каждой страховой компании свои правила. Позвоните по телефону в свою страховую компанию, не представляясь узнайте об этом.