может ли страховая компания отказать в выплате?

Если речь о КАСКО, смотрите условия своего страхового договора и правила страхования. И чем грозит их невыполнение. Отказ в выплате возможен при невыполнения Страхователем обязанностей, предусмотренных условиями договора страхования и правилами страхования Вашей СК, которое повлекло за собой невозможность принятия Страховщиком решения о признании случая страховым и выплате страхового возмещения (обеспечения) . Несвоевременной обращение как раз сюда и относится.
Можно попробовать действовать через суд. Если суд сочтет пропуск обращения с заявлением уважительной причиной, то вполне возможно дело выиграть. Вопрос в том, есть есть ли у Вас уважительные причины. Попробуйте проконсультироваться у автоюристов - оценить шансы.
ПС: ну почему платятся приличные деньги за страховку, а договора не читаются! Ведь страховщики и так всегда ищут повод для отказа в выплате - это им только на руку. А вы сами добровольно подводите себя под невыплату.. . (((

Да, - вы не выполнили условие договора. Надо было просто позвонить!

Вы вообще в страховую за это время не обращались? Даже не звонили?
Они первым делом об этом предупреждают.. .
Если по ОСАГО, то добьетесь своего, а по КАСКО сложно, нужен хороший юрист и уважительная причина не сообщения, попробуйте сделать справку об болезни, типа лежали с гриппом, ни до каких страховых было, или вас срочно в командировку отослали (посадочные талоны, счет из гостиницы...)