тех осмотр заканчивается 10, страховка 25 можно ли 15 дней ездить?

Ездить можно, страховая отказать в выплате или выдвинуть Вам "регресс"(в случае чего) НЕ имеет права по закону !!!
Кроме того, в Вашем случае оптимально будет до 10-го заключить новый годовой полис ОСАГО (с пересчётом остатка), так как даже если останется один день действия ТО-страховая ОБЯЗАНА застраховать авто по ОСАГО на год. Тогда проходить ТО в этом году вообще не придётся. Наличие ТО необходимо ТОЛЬКО при заключении договора ОСАГО. Больше наличие ТО никто не проверяет.

У Вас вообще ситуация вопросов не вызывает. Техосмотр действует до 31 августа (если "10" - это 10 августа) . Страховку можете оформить в любой день ДО даты ее окончания - нужен действующий талон ТО или ДК хоть с последним днем действия. Так что как ни крути - все по закону.
А техосмотр можете пройти по сроку окончания нынешнего или позже. Для ГАИ достаточно иметь действующую страховку (если только Вы не водитель ТС, используемого для перевозки пассажиров или опасных грузов).

Отметка обозначает месяц прохождения тех.
осмотра, а не число.

По закону конечно нет, и если вы попадете в ДТП за эти 15 дней, то страховая может вам отказать в выплате. Но в принципе тех осмотр полиция сейчас не проверят и штрафа за его отсутствие вы не получите. Главное перед тем, как продлевать страховку вам необходимо будет пройти техосмотр. Без него вам полис не выпишут.