Каку ответственность несет водитель, если он передал управление т.с. своему сыну , не вписанному в полис ОСАГО?

Никакой, если у сына есть ВУ, а у папы есть законное право распоряжаться ТС с передачей управления.
Сыну - штраф 300рб

Горе конечно. Про ответсвенность не знаю. Но такому барану башку надо отварачивать за такое легкомыслие.
( Я о последнем происшетствии - когда папаня дал ключи 6 летнему сыну стоб тот завел и прогрел машину. Но сынуля в результате прогрева задавил 3 летнего малыша на СМЕРТЬ )

Года два назад сын платил шестьсор рублей

Водитель - это тот, кто "водит", а не тот, кто "передает"!!! Если Ваш сын имеет ВУ (Права) и Договор ОСАГО, предусматривает ограниченный список водителей, то в случае управления "не вписанным" водителем - штраф 300 р. каждому ГАИшнику и плюс ПЕРСОНАЛЬНАЯ ответственность СЫНА, перед Потерпевшими в ДТП.... Если у Сына, нет ВУ, то вплоть до уголовной ответственности для того, кто "передал" управление.

доверив управление автомобилем другому водителю, не внесенному в страховку, то при проверке документов инспектор оформит протокол по ст. 12.37 п. 1 КоАП – штраф 300 руб. Ваша задача перевести водителя во владельцы, тогда ст. 12.37 п. 1 неприменима.
берете листок бумаги и с сыном пишите доверенность или договор безвозмездного пользования сегодняшним числом, и как новый владелец сын может кататься 5 дней без страховки.

В принципе можно и без написания документов, если собственник машины сидит на пассажирском сидении, т. к. отсутствие письменной формы не влечет недействительность сделки (ст. 162 ГК) . И, если оказались в такой ситуации, то именно так и пишите в протоколе: "Не согласен, т. к. у меня устный договор безвозмездного пользования от сегодняшнего числа. Закон «Об ОСАГО» ст. 4 п. 2, как новому владельцу, дает право оформить страховку в течение 5 дней".

в лучшем случае штраф 700рублей!!!

Статья 12.3. Управление транспортным средством водителем, не имеющим при себе докум
часть 2. Управление транспортным средством водителем, не имеющим при себе талона о прохождении государственного технического осмотра, страхового полиса обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортного средства, за исключением случая, предусмотренного частью 2 статьи 12.37 Кодекса об административных правонарушениях РФ
влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере ста рублей.

часть 3. Передача управления транспортным средством лицу, не имеющему при себе документов на право управления им, -
влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере ста рублей.

статья 12.37 в данном случае не подходит, поскольку педусматривает ответственность водителей указанных в полисе ОСАГО, но т. к. гайцы хорошие психологи, могут раскрутить на штраф 300 р. , если применят часть 1 указанной статьи, или от 500 до 800 р. , если раскрутят на ч. 2 ст. 12.37.

Но в данном случае у сын должны быть документы на авто, В/У и доверенность или собственник рядом.

300руб. штраф. при тяжёлых последствях уголовную