Могу ли я банку доказать, что я проработал в одной и той же организации?

Переоформление собственника на Вашем трудовом стаже никак сказываться не должно. Если даже будет смена названия, то это просто фиксируется в трудовой книжке, что произведено переименование - увольнение и повторный приём сотрудников в таких случаях не производится.
Если по каким-то причинам у Вас иначе, или трудовых нет вообще (?), можете предоставить в банк копию документов о смене собственника, а также попросите Ваше предприятие выдать Вам справку в произвольной форме, о том, как давно Вы работаете и когда произошли изменения в организации.

Если у Вас производят увольнения/принятия и при этом в трудовых книжках не добавляют комментарий "в связи с переводом в Название_Нового_ИП", а пишут "по собственному желанию", то это должно Вас насторожить.. . И банк тоже насторожит. Потому что это нарушение трудового законодательства, которое может объясняться либо неграмотностью сотрудников отдела кадров, либо тем, что предприятие является частью схемы по уклонению от уплаты налогов. Вам-то банк доверять сможет, а вот Вашему работодателю - нет.
Попросите лично в Вашей трудовой оформить запись правильно ("уволен в связи с переводом") - для банка этого подтверждения должно быть достаточно. Если работодатель откажется, то есть повод подумать о смене места работы...

а ты причём? стаж у тебя останется, ты же официально работаешь там?
а ну если увольняют и снова принимают, то это уже в банке определят, по ихнему желанию. Но мне кажется они всё же придержатся закону!

Доказывать- себя не уважать...