имеют ли право судебные приставы арестовать счёт в сбербанке на заплатанную карту в в минус?

Да, могут.. . и дети не тут роли не играют.

В целом - да, если есть исполнительный лист от суда. При этом, банк вынужден подчинится требованию (теперь уже суда) о замораживании счёта.

Приставы имеют право, а точнее обязаны, - арестовать карту, т.е. счет.
При этом они не обязаны выяснять назначение этого счета; а банки, отвечая на запрос приставов о наличии счетов, не обязаны сообщать, для чего счет предназначен (за исключением кредитных счетов).
Так что Вам необходимо сообщить приставу, что арестованный им счет предназначен для перевода заработной платы - и взыскание по нему будет осуществляться частично, в пределах установленного законом процента для удержания из зарплаты. Предыдущий арест будет отменен, деньги на карту - возвращены.

Да бывали такие случаи когда карту зарплатную в водили в -200 000 руб. Если же с Вас удержали большую сумму с з/п карты и Вы один родитель на двоих детей, то вы можете оспорить данный аспект при помощи отдела опеки и попечительства.
А еще проще потеряйте карту з/п, и деньги получайте в кассе организации, восстановят и снова теряйте)))

Сомневаюсь, что имеют на это право. Например при официальном трудоустройстве приставы имеют право списывать определённый процент от вашей зарплаты и не имеют права лишать Вас всех средств к существованию. С картой также получается. Тем более если есть дети. В каком городе Вы живёте? Во многих областях есть бесплатные горячие линии юридической помощи. Посмотрите в интернете телефон и обязательно позвоните узнайте.