Какова роль наказания в воспитании детей?

Это форма обучения. Ребенок должен связать наказание со своим проступком и больше так не делать. И надо так объяснить, чтобы он боялся сделать плохо, а не получить наказание.

Даже к разным собакам подход (довольно часто) бывает разным, а Вы говорите о человеке : одному достаточно увидить удивление окружающих - он исправится, а другого нужно наказывать и довольно строго и то не всегда поймет - разные мы .
Проще и надежнее воспитывать поощрением : есть результат - есть поощрение и радость родных, нет результата - нет и радости, ведь радости и поощрения ребенок очень хочет - нельзя "забыть" поощрить, это куда ВАЖНЕЕ наказания .

наказание - это часть воспитания: "нежелающий бить своего сына - ненавидит его"

Смотря какое наказание...

Если ребенок маленький - его лучше не наказывать. Если это уже 14-16 летний подросток, который орет матом на учителей, постоянно говорит про свои права, но "не знает" обязанностей - то тут нужно наказывать со всей строгостью.

Изыде сеятель сеяти семена своя
Свободы сеятель пустынный,
Я вышел рано, до звезды;
Рукою чистой и безвинной
В порабощенные бразды
Бросал живительное семя —
Но потерял я только время,
Благие мысли и труды...
Паситесь, мирные народы!
Вас не разбудит чести клич.
К чему стадам дары свободы?
Их должно резать или стричь.
Наследство их из рода в роды
Ярмо с гремушками да бич.

Александр Сергеевич Пушкин

Огромные ремни и дикие вопли, укрощене тигра в зоопарке

Ну вот говорите говорите, а сами не когда не кричали в порыве гнева на своего ребенка? Я пальцем дочь не тронула, но кричать кричала