"Родители должны вместе отвечать за воспитание детей". Как это можно контр-аргументировать?

Сразу вопрос - а перед кем отвечать?
Из ребенка все равно вырастет то, что вырастет, как его не воспитывай. Родители самообольщаются, когда думают, что хорошего ребенка они воспитали, а плохой не знаем в кого. . Но это так, мысли вслух.

Каждый из родителей должен отвечать за какую-нибудь одну сторону развития, воспитания, и не вмешиваться в то, что делает другой родитель. Допустим, мать, приучает к порядку, прививает манеры, учит вышивать крестиком) Отец водит в походы, учит играть в шахматы и прививает дисциплину. Каждый должен признавать авторитет другого родителя в его/ее сфере ответственности, тогда у них не будет конфликтов.

То, что вы приводите - не аргументы, а оправдания родителей, которые со своей ролью не справляются или не хотят справляться. Весомыми арументами против участия одного из родителей в воспитании собственного ребёнка могут быть только ссылки на те вопиющие случаи, которые сначала ведут ко вмешательству в жизнь семьи органов опеки и/или правопорядка, а впоследствии могут привести к лишению родительских прав. Иными словами, если будет доказано, что родитель своими действиями или бездействием создаёт угрозу жизни и здоровью своего ребёнка (избивает, морит голодом, вовлекает в алкоголизм, наркоманию, попрошайничество, занятия проституцией, совершает с ребёнком действия развратного характера или осуществляет над ним сексуальное насилие...)

Тебя проверяют на поведение в безысходной ситуации - аргументов нет.

алкоголизм, наркомания, психические расстройства, небрежное отношение, влияние третих лиц.