Нужно ли часто болеющему ребенку-детсадовцу, давать какие-то препараты для профилактики?

Ничего. Не мучайте иммунную систему ребенка. Больше, чем надо, он не переболеет. Если есть возможность, оставьте дома с бабушкой.
Ну а если такой возможности нет, побольше гуляйте с ним после садика, пусть побольше поплещется в ванной с отварами травок, делайте на ночь ингаляции (нам хорошо помогают с ротоканом) , утром нос прочищайте, горлышко полощите. - в общем, любые домашние физиотерапевтические процедуры.

Я считаю, что профилактику делать нужно, потому что после перенесенной болезни иммунитет у ребенка ослаблен, вот на фоне этого новые сопли подцепить очень даже просто. Что касается самой профилактики, то можно и нужно элементарно, после садика промывать слизистую носика морской водой, кроме того можно полоскать горло, слизистая это самые первые места где оседают вирусы и если их вовремя не смыть, то можно разболеться. Проконсультируйтесь с педиатром, возможно назначит и курс витаминов, для того что бы поддержать организм малыша. Что касается болеющих деток в группе, то вы сами должны говорить об этом воспитателю, если не реагирует идите к медсестре, не должны болеющие малыши быть в саду, их должны лечить дома. Потому что естественно будете болеть, когда детки большую часть времени в замкнутом пространстве с разносчиком инфекции находятся. По хорошему воспитатель не должна принимать таких деток в группу, но раз все таки принимают, то ваша задача акцентировать на этом внимание и требовать высадки таких деток с группы. По поводу профилактики вот еще статья почитайте: http://www.mamenadoznat.ru/profilaktikaorvi/

Нужно, чтобы врач выписал, что давать, а что нет.

Аптечные препараты лучше не давать. Можно увеличить в рационе питания долю фруктов, полезны будут физические упражнения на дыхание и тренировку лёгких, например, надувание шариков.

Нет, не нужно. Нужно его кормить живой, натуральной пищей, чтобы иммунитет восстановить. И ещё не ставить прививки. Здесь вся информация для того, чтобы дети не болели, https://www.youtube.com/watch?v=V3jlvUibiFA