Если ребёнок болеет ОРЗ уже 2,5 недели, значит пора выписывать антибиотики?

Отопление тут ни при чем. В жаре и сухости, ещё хуже болеют.
Может пока кровь сдавали ещё что-то словили в поликлинике? И это не продолжение болезни, а новая?
После поликлиники, сразу при выходе, нужно промывать нос и вытирать руки бактерицидной салфеткой
Антибиотики можно пить исключительно по назначению врача (причем требуйте объяснений почему вам их назначают). Они сажают печень, почки, нарушают работу ЖКТ и это ерунда в сравнении с тем, что может развиться резистентность к антибиотикам и тогда в случае серьёзной угрозы жизни и здоровью они не помогут.

Если у вас вирус, антибиотики не помогут, от вирусов нет лекарств.

Может у ребёнка аллергия?

Вбейте симптомы в поисковике, поищите в медицинской энциклопедии. К сожалению, сейчас много безграмотных, не внимательных врачей. Так же у них ограничено время приёма и они стараются отделаться, а не понять, что с ребёнком. У нас пару раз было дело, я диагнозы ставила, а врачи в количестве 5 штук поставить не могли.
Сходите к ЛОРу. Они обычно лучше педиатров смотрят.
Сдайте анализы.
Увеличьте влажность помещения. Нет увлажнителя, мокрое полотенце повесьте. Брызгайте пульверизатором с пихтовым маслом. Промывайте нос морской водой. Растирайте барсучьим жиром со звездочкой. Делайте массаж, посмотрите при кашле, хорошо помогает. Положите рядом с кроватью чеснок и корень имбиря.

значит это не ОРЗ

Из прочитанного не увидел показаний для антибиотикотерапии.

Их надо было принимать в первые дни, а теперь болезнь растянется ещё на месяц . 3 дня приёма антибиотиков не нарушат ничего < зато избавят от мучений и вас и ребёнка .