Может ли сейчас завод АвтоВАЗ выпустить новую копейку, скажем, если закажет какой-то крутой для ностальгии?

АвтоВАЗ вряд-ли, а вот Мерседес может. У них есть все запчасти для всех машин выпущенных после 50-х годов.

Нет, конечно! АвтоВАЗ - предприятие по МАССОВОМУ конвейерному выпуску автомобилей, он делает прибыль за счёт количества выпущенных авто и заниматься сборкой штучных авто по заказу им просто некогда, негде и тупо - не выгодно !
Та же "копейка" состоит из тысяч деталей (и не только ВАЗовского производства, но и "смежников" !)которые давно не выпускаются и налаживать их выпуск для разового заказа никто не будет (да и не сможет - давно нет тех материалов и оборудования !) даже за очень большие деньги !
Максимум, что может "крутой для ностальгии" купить "копейку" в живом состоянии с маленьким пробегом (благо, такие экземпляры периодически появляются на вторичном рынке) типа этой :
http://irkutsk.drom.ru/lada/2101/26977377.html и отдать её в частную реставрационную мастерскую, где за большие деньги её доведут до состояния близкому к новому авто. Ну и только.
Никаких складов с новыми "семерками" и "девятками" конечно нет! Эти авто всегда пользовались спросом, вплоть до окончания выпуска и быстро разбирались покупателями-какой смысл держать их до сих пор на складах ?

кузовных штампов для ВАЗ-2101 на заводе не осталось, дубли были выкуплены фирмой "Начало" еще в 90-х...

В единичном количестве её может выпустить любой крупный завод. Только новодел не стоит этих денег.

Нет проблем сделать машину в единичном экземпляре, для тебя соберут. Проблема на конвейер поставить и себестоимость снизить.

Вроде музей был при заводе с образцами продукции. Может там и стоят нулевые.

не может

нет

За деньги могут собрать всё что угодно. Вопрос только в их количестве.