посоветуйте цифров.мыльницу для любит.использования в пределах 4 тыщ рублей, и что лучше аккумулятор или батарейки?

Лучше, чтобы фотик питался от стандартных "пальчиковых батареек", по-русски - "элементов-316", по-английски - "AA-size cells". И сразу купить к нему аккумуляторы этого типоразмера - лучшие из недорогих GP, продаются они повсеместно. Можно - несколько комплектов. Тогда у Вас никогда не возникнет проблем из-за внезапной разрядки источников питания в ходе съёмки, а в случае необходимости - можно будет купить и обычные одноразовые щелочные (alkaline) батарейки.
Теперь - о моделях. Мнение, будто "за эту цену у всех приблизительно одинаковые параметры" - глубоко ошибочно, распространено оно среди тех, кто вообще ни в чем не разбирается и оценивает по критерию "дорого - значит круто".
Наилучшее соотношение цена-качество - у фотиков серии Canon PowerShot: даже самые дешевые модели дают вполне достойный результат. В рамках этой серии - качество пропорционально цене. Особокомпактная серия IXUS той же фирмы - дороже и хуже. В тройку мировых лидеров входят также Nikon и Olympus. Следом за ними - Pentax, Lumix, но только не Samsung, Sony или Kodak. Ho за 4000 р что-либо пристойное, если это не Canon PowerShot, Вы едва ли найдёте.

лучше если фирменный аккумулятор который идет сразу в комплекте
а АА -больно говенные служат как правило всего лишь год а это маловато
погляди кодак http://shop.kodak.ru/store/ekconseu/ru_RU/list/categoryID.28927200

за эту цену у всех приблизительно одинаковые параметры, выбирайте какой понравится, по дизайну, габаритам. питание: если негде будет включить подзарядку, нет электричества ( отдых в лесу, палатке, далеко от жилья) то несколько комплектов батареек, в других случаях аккумуляторы+дома зарядка.

лучше аккумулятор свой. А батарейки. если их даже зарядить полностью, постепенно и без использования садятся. мыльницы разные бывают. Можно купить аккумуляторную батарейку 2700 mH например.