Какую купить зеркалку или беззеркалку на Авито за 10 т. р.?

Внешняя вспышка тут нужна или светосильный объектив. Пока малец не подрос, лучше использовать именно второй вариант. Nikon D40/D40x/D60/D3100 + yongnuo 35mm как вариант. Бюджет настолько маленький, что вариантов в нём практически нет под ваши задачи.

.. попробуйте улучшить качество фотографий другим путём - добавьте больше света, правильно кадрируйте, продумывайте сюжет
и... $#^&! ..убирайте уже бардак перед съёмкой!

ворованую. А если серьезно, то для этого вполне хватит и мыльницы цифровой.

Что бы снимать детей и домашних питомцев нужен аппарат с быстрой фокусировкой. Значит мыльницы отпадают. Остаются зеркалки/беззеркалки. Если повезёт, то найдёте в хорошем рабочем состоянии и с не запредельным пробегом (касается зеркалок).
=======================================================
Придётся дедушке взять пока на себя роль семейного фотографа. Со временем сын купит хороший фотоаппарат, вы его научите им пользоваться и он сам станет фотографировать внука.

За 10 можно найти Fujifilm X30 самый раз будет

Нуууу.. (( 10 тыс - это несерьёзно. Даже для покупки нормального объектива не хватит. Зачем жиру беситься, если и жиру нет?
"Сын хочет снимать внука на что-то лучшее, чем смартфон" - надеюсь, вы объяснили, что тут надо уметь "чуточку" больше, чем жать на кнопку? В любом случае, деньги на ветер. Пусть телефоном снимает или копит на какой-нибудь современный Fujifilm для фотолюбителей. Иначе не в радость покупка будет. Да и не в пользу.

я бы рекомендовал fujifilm XQ2. но конечно тут дело вкусов.
лично я считаю его оптимальным вариантом именно для портретной фотографии в репортажном стиле, и особенно в съёмке в помещении без вспышки. Возможно мне не повезло, но моя любительская зеркалка с китовым объективом тут однозначно даёт худшие результаты.

поищите на авито/юле canon 650d - полтинник f/1.8