Может ли полиция расследовать дело о самоубийстве?

Да, конечно! По статье ДОВЕДЕНИЕ до самоубийства.

полиция в расследовании скорее всего будет придерживаться версий - убийство или доведение до самоубийства, а вот почему человек пошел путем Иуды и наложил на себя руки - это полиция не будет расследовать

всё целиком и полностью зависит от обстоятельств
обычно самоубийцы оставляют записки где прощаются с родными и близкими и просят никого не винить
если почерк в записке - покончившего с собой человека то скорее всего никакого расследования не будет
если же записки нет - устанавливают факт действительно ли это суицид или замаскированное под суицид убийство
с доведением до самоубийства куда сложнее
потому что одно дело - систематические истязания и издевательства
(и то сразу возникнет вопрос - а почему жертва всё это терпела - не могла уйти или пожаловаться? потому что если жертва не могла уйти физически - это однозначно статья, незаконное лишение свободы ! )
и совсем другое - если парень бросил, отказался жениться на беременной от него и всё такое
я ещё в советское время читала комментарий к УК РСФСР именно к статье про доведение до самоубийства
там была намечена свадьба и невеста была беременна
жених узнал что в семье невесты есть какое-то наследственное тяжёлое заболевание
отказался от женитьбы
невеста покончила с собой
в возбуждении уголовного дела отказали - отказ от вступления в брак доведением до суицида не является

расследовать - почему именно человек покончил с собой - полиция однозначно не будет
они не психологи и не психиатры
это не в их компетенции
чаще всего суицид - если только он не вызван физической болью и страданиями, как, например, у онкологических больных, не получающих обезболивающих препаратов - признак психического отклонения или временного умопомешательства
потому что в целом человек может привыкнуть к почти всему, и ему свойственен инстинкт самосохранения и выживания
пример - Элизабет Фритцль провела в подземном бункере 24 года (умолчу про остальной шандец - если интересно, найдёте сами), но не покончила с собой !

По любому факту суицида проводится проверка. Мало того, по любому факту смерти...

Если было доведение до самоубийства, то возможно

Разве это так работает? А не при наличии трупа полиция обязана начать расследование, в итоге которого установит, что это есть самоубийство?

Да, естественно