По какой причине профессор Плейшнер пошёл на такое стрёмное и рискованное задание Штирлица?

В память о брате, скорее всего. Я бы не сказала, что задание было таким уж опасным. Он сам допустил оплошность, которая и привела к трагедии.

,,Плейшнер был завербован Штирлицем после смерти старшего брата профессора, который многие годы являлся его помощником в антифашистском движении. Штирлиц принял решение привлечь профессора, так как в связи со смертью Эрвина Кина и исчезновением Кэт у него почти не было каналов связи, кроме пастора Шлага. Штирлиц решил сделать себе запасной канал и для этого дал задание Плейшнеру отправиться в Берн, признавшись, что он является советским разведчиком.

Плейшнеру уже доводилось бывать в концлагере, откуда он вернулся почти сломленный духом. Человек глубоко интеллигентный, он плохо ориентируется в обществе и предпочитает сидеть в библиотеке, работать над своими научными трудами. Режим нацистов ему отвратителен, однако он не имеет никакой возможности выражать это. Предупредив Штирлица, что в случае провала он может «не выдержать», Плейшнер всё же без колебаний соглашается сотрудничать с ним. В Берне ему нужно отправить шифрованную телеграмму (с этой частью миссии он справляется успешно) и встретить резидента в явочной квартире. К сожалению, в результате своей оплошности, опьянённый воздухом свободы, Плейшнер не замечает условного сигнала о том, что явочная квартира провалена, и раскрывает себя нацистам (впрочем, Штирлица он при всём этом не выдаёт). Когда он понимает это, то предпочитает покончить с собой, чем снова оказаться в нацистской тюрьме.,,

Если говорить серьёзно, то весь этот сериал был продуктом сталинистского агитпропа
Поэтому искать там какую то логику и пытаться найти взаимосвязи с фактическим материалом бессмысленно и бесполезно.
Сталинистский агитпроп в целом держал население СССР за идиотов и не только в этом одном сериале
по той же причине культовые немецкие фильмы о 2-й Мировой, снятые в те же годы студией ДЕФА ГДР с участием артистов из СССР, на русский язык не переводили и в СССР не показывали, чтобы не вызвать у населения СССР разрыв шаблона

1. Идеологические установки и прошлое. 2. Вербуемость

Плейшнер просто хотел, чтобы война поскорее закончилась